smtwtfs
    123
45678910
11121314151617
18192021222324
252627282930 
<< June 2017 >>
sponsored links
profile
twitter
new entries
categories
archives
recent comment
recent trackback
links
mobile
qrcode
others
無料ブログ作成サービス JUGEM
search this site.
<< 電球が | main | とうふドーナツ >>

スポンサーサイト

一定期間更新がないため広告を表示しています

at , スポンサードリンク, -

-, -, pookmark

カルマン正準形まとめ

お勉強の話。
点数は取れるらしいけど授業の意味がさっぱりわからない太田先生のシステム解析学を記憶の整理のためにまとめ。
8週目になってやっと出てきた伝達関数が実は一番重要だなんてあんまりですよ。
以下は学科の違う人が読んでも意味がわからないと思います、すいません。
・何をする講義か
 「入力をもとに、しばらくすると、出力を返す」機械の設計について考えるための講義。「しばらくすると」ってのは、入力から出力までにかかる時間についてはあまり考えないということ。
 たとえば、「紙と原稿を入力してコピーを出力するプリンター」を開発するとき、コピーにどれくらい時間がかかるかは、わりとどうでもいい。
 たとえば、「お金と商品名を入力してジュースを出力する自動販売機」を開発するとき、ジュースがマッハで出てきても、ゆっくり出てきても、わりとどうでもいい。
 理系の学問なので入力・機械・出力を工学的っぽく数式でモデル化する。つまり、入力をU,出力をY,機械をGとすると、
  Y(s)=G(s)U(s)
 このG(s)の設計の方法とかをいろいろ考えてみましょう、というのがシステム解析学。つまり、入力Uに対して出力Yを返すようなGを設計するのが目的であって、はじめからAとかBとかが決まっているわけではない。ましてや x[n] なんて。

・状態方程式
 ここからは、例として「ベルトコンベアーで次々にパン生地を焼くオーブン」を発明してみる。このオーブンは高性能で、どんなパン生地であっても投入すれば自分でパンの焼き具合を判断して温度を上げ下げして、おいしく焼いてくれるということにする。このオーブンにパン生地をどんどん流し込み、パンをぽこぽこ焼いていこう。オーブンがG,パン生地がU,焼けたパンがYにあたるのはいうまでもない。
 さて、「おいしく焼けたか」をどうやって判断しようか?仮にそのパンのおいしさのバロメーターを y としよう。パンの排出口に立って、一個一個味見をしながら温度を調節するのも一つの手だ。これを出力フィードバックと言う。だがこれでは食いかけのパンが大量生産されることになる。それはまずいので別の方法を考える。
 パンの焼き具合を計ってみて、ある程度あったかくなっていたら「おいしい」と判断してみる。これならパンを傷つける事も無い。これを状態フィードバックと言う。このパンの温度を「状態」と呼び、xであらわす。ここでやっと状態方程式が登場できる。
  x[n+1]=Ax[n]+Bu[n]
 添え字の[n]は、「n個目のパンの」と読み替える。
 するとこの式は、「n+1個目のパンを焼く温度は、n個目のパンの温度とパン生地の様子(種類とか大きさとか)を元に判断する」ことを意味する。前のパンは焼きがイマイチ甘かったから温度を上げよう、とかだ。こんな風にちまちまと温度の微調整を繰り返していけば、しばらく放置すると、機械が理想と判断したある温度で常に焼き上げてくるようになる(収束する)。
 同じようにn個目のパンのおいしさは次のように表現できる。
  y[n]=Cx[n]+Du[n]
 この式は、「パンのおいしさは、そのパンの温度とパン生地の様子(大きさとか)を元に判断する」ことを意味する。
 そういえばY(s)が急にy[n]になっている。Y(s)はy[n]のスペクトルなので、y[n]がn個目のパンのおいしさなら、Y(s)はおいしさ度数 s のパンの個数、みたいな感じ…だろうか。よくわからん。
 あとはAとかBとかCとかDのパラメータを試行錯誤して一番おいしく焼けるようにすれば良い。上記のようにG(s)の設計をするとき、状態x[n]は、u[n]に対応したy[n]を出力させるために自分で定義する

・安定性
 もしこのオーブンが熱源に電子レンジを使っていたとする(焦げ目つかないけど)と、万が一このオーブンにピザパンみたいなアルミホイルをつかった生地を入れてしまうと、アルミホイルの温度がものすごく熱くなってしまって危険である。これは危ないので熱源をヒーター式に変えよう、と言うのが安定化の話。

・可観測
 入れたパン生地と出てきたパンの様子を見れば、そのパンが何度で焼かれたのかがわかる、ということ。

・可制御
 最高のパン生地を入れればどんなおいしさのパンでも焼くことが出来る、ということ。めちゃくちゃおいしそうなパン生地でも、ぬるくしか焼けなければグダグダになってしまう、改良しよう、と言うのが可制御化。
 
・正準形
 まずは可制御正準化から。温度でおいしさを判断する方式だと、パン生地の厚さとか個体差があるから、そこそこおいしいパンしか焼くことが出来ない、みたいな問題にぶち当たる事もある(不可制御)。機械のパン排出口にカメラを取り付けて、見た目の焦げ目 x' でおいしさを判断させる方式にしようぜ、それならどんなおいしいパンでも焼けるよ、と決まったとする。すると「状態」にあたる変数は 温度x から こげ具合x' に変わる(x'=Tx)。状態が変われば当然方程式も違うものになる。でも、前と同じ生地を入れて、違う味のパンが出てくるようになってしまっては困る、商品の品質が変わってしまう、改造するにしても入力と出力の関係は変わらないようにやれ。これを式で書くと、
  x'[n+1]=A'x'[n]+B'u[n]
  y[n+1]=C'x'[n]
 これが可制御正準化。uとyはダッシュがつかずにそのままのところがポイント。可観測も似たような感じ。可制御かつ可観測な正準形に変更させるのがカルマン正準形。
 ここで大事なのが、「正準化してもG(s)は変わらない」という点。正準化の過程でどんなに中身の部品を取り替えようとも、Y(s)=G(s)U(s)の関係は変わらず、同じようにパン生地を入れれば前とまったく同じように焼ける、外から見た入力と出力の関係はまったく変わらない、ということ。カルマン正準形が元のA,B,C,Dとはかけ離れた形なのにまるで元の状態方程式と等価であるかのようにあつかわれたのはこのため。つまり、ユーザーから見た使い勝手はまったく変えずに、可観測かつ可制御な機械へとバージョンアップしてしまおう、というのがカルマンの狙い。

at 21:43, sekky, アレゲな話

comments(7), trackbacks(0), pookmark

スポンサーサイト

at 21:43, スポンサードリンク, -

-, -, pookmark

comment
ジェ, 2006/02/03 6:14 PM

ディテールはわからんが、おもしろいな。
工学部的で。

例えば、具体的な応用例ってあるの?
まさかまじでパンを焼いてるわけ?

あらぺ, 2006/02/04 4:59 AM

うぉぉすげぇ、まとまってるよ。あの意味不明の授業が。
これならシステムが理解できそうな気がする。
とはいえこの時間帯(朝5時)だとこの文すら理解する力が残ってない…今度もう一度読み直そう…。

せき, 2006/02/05 1:46 AM

>ジェ
「現状をちょとづつ修正して目的に近づける」システムが対象なので、たとえば、ミサイルの自動追尾とか、電車のゆれを抑える姿勢制御とかみたいな、不確定な事が絡みやすい機械に使われる感じです。普通の大砲を物理の計算だけで命中させようとすると、空気の流れとかターゲットの速度とかが絡んでものすごい複雑な計算になったりするので。
その場の空気を読みながら笑いをとる、のもそうかもしれません。相手の表情を観測しながら笑い声の出力を極大へ増大させる、みたいな。

>あらぺ
投稿してから気がついたけど長いからあんままとまってない(^^;)
五時ってもう起きてくる時間やん!

なべ, 2006/02/05 3:49 PM

>その場の空気を読みながら笑いをとる、のもそうかもしれません。相手の表情を観測しながら笑い声の出力を極大へ増大させる、みたいな。

そんなんまでだせてしまうのかっ(笑)
せっきーの愛した数式??

せき, 2006/02/09 8:29 PM

カルマンやっつけてきましたよー。

>なべ
意味不明な科目で愛せないから苦労していたのです。。。

くま, 2006/02/22 1:07 AM

おお、すごい。可観測とか懐かしい。。
せっきー塾、すばらしい。

せき, 2006/03/02 11:47 PM

どうもですー。
さっき見たら、しっかり通ってたぜー。いぇぃ。










trackback
url:http://kuunerutokoro.jugem.jp/trackback/5